Tendensi Sentral: Mean

Rata-rata hitung atau arithmetic mean atau sering disebut dengan istilah mean saja merupakan metode yang paling banyak digunakan untuk menggambarkan ukuran tendensi sentral. Mean dihitung dengan menjumlahkan semua nilai data pengamatan kemudian dibagi dengan banyaknya data. Definisi tersebut dapat di nyatakan dengan persamaan berikut:
Sampel:
\overline{x}=\dfrac{x_1+x_2+x_3+\dots +x_n}{n}\ {\rm atau}\ \overline{x}=\dfrac{\sum^n_{i=1}{x_i}}{n}\ {\rm atau}\ \overline{x}=\dfrac{\Sigma x}{n}
Populasi:
\mu =\dfrac{x_1+x_2+x_3+\dots +x_n}{n}\ {\rm atau}\ \mu =\dfrac{\sum^n_{i=1}{x_i}}{n}\ {\rm atau}\ \mu =\dfrac{\Sigma x}{n}

Keterangan:
∑ = lambang penjumlahan semua gugus data pengamatan
n = banyaknya sampel data
N = banyaknya data populasi
\bar x = nilai rata-rata sampel
μ = nilai rata-rata populasi
Mean dilambangkan dengan \bar x (dibaca “x-bar”) jika kumpulan data ini merupakan contoh (sampel) dari populasi, sedangkan jika semua data berasal dari populasi, mean dilambangkan dengan μ (huruf kecil Yunani mu).
Sampel statistik biasanya dilambangkan dengan huruf Inggris, \bar x, sementara parameter-parameter populasi biasanya dilambangkan dengan huruf Yunani, misalnya μ


a. Mean untuk data tunggal
Contoh 1:Hitunglah nilai rata-rata dari nilai ujian matematika kelas 3 SMP berikut ini:
2; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 9
Jawab:
\overline{x}=\dfrac{\Sigma x}{n}=\dfrac{{2\ +4\ +5\ +6\ +6\ +7\ +7\ +7\ +8\ +9}}{10}=\dfrac{{61}}{10}=6.10

Nilai rata-rata dari data yang sudah dikelompokkan bisa dihitung dengan menggunakan formula berikut:
\bar x=\dfrac{f_1x_1+f_2x_2+\dots .+f_nx_n}{f_1+f_2+\dots +f_n}=\dfrac{{\Sigma f}_ix_i}{\Sigma f_i}

Keterangan:
∑ = lambang penjumlahan semua gugus data pengamatan
fi = frekuensi data ke-i
n = banyaknya sampel data
\bar x = nilai rata-rata sampel

Contoh 2:
Berapa rata-rata hitung pada tabel frekuensi berikut:
xifi
705
696
453
801
561
Catatan: Tabel frekuensi pada tabel di atas merupakan tabel frekuensi untuk data tunggal, bukan tabel frekuensi dari data yang sudah dikelompokkan berdasarkan selang/kelas tertentu.

Jawab:
xififixi
705350
696414
453135
80180
56156
Jumlah161035
\overline{x}=\dfrac{{\Sigma f}_ix_i}{\Sigma f_i}
\overline{x}=\dfrac{1035}{{\rm 16}}=64.6

b. Mean dari data distribusi frekuensi/dari gabungan
Distribusi Frekuensi:
Rata-rata hitung dari data yang sudah disusun dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dapat ditentukan dengan menggunakan formula yang sama dengan formula untuk menghitung nilai rata-rata dari data yang sudah dikelompokkan, yaitu:
\bar x=\dfrac{{\Sigma f}_ix_i}{\Sigma f_i}

Keterangan:
∑ = lambang penjumlahan semua gugus data pengamatan
fi = frekuensi data ke-i
\bar x = nilai rata-rata sampel

Contoh 3:Tabel berikut ini adalah nilai ujian statistik 80 mahasiswa yang sudah disusun dalam tabel frekuensi. Berbeda dengan contoh 2, pada contoh ke-3 ini, tabel distribusi frekuensi dibuat dari data yang sudah dikelompokkan berdasarkan selang/kelas tertentu (banyak kelas = 7 dan panjang kelas = 10).
Kelas ke-Nilai Ujianfi
131 – 402
241 – 503
351 – 605
461 – 7013
571 – 8024
681 – 9021
791 – 10012

Jumlah80
 
Jawab:Buat daftar tabel berikut, tentukan nilai pewakilnya (xi) dan hitung fixi.
Kelas ke-Nilai Ujianfi xi fixi
131 – 40235.571.0
241 – 50345.5136.5
351 – 60555.5277.5
461 – 701365.5851.5
571 – 802475.51812.0
681 – 902185.51795.5
791 – 1001295.51146.0

Jumlah80
6090.0
 
\overline{x}=\dfrac{{\Sigma f}_ix_i}{\Sigma f_i}

\bar {x}=\dfrac{6090}{{\rm 80}}=76.1
Catatan: Pendekatan perhitungan nilai rata-rata hitung dengan menggunakan distribusi frekuensi kurang akurat dibandingkan dengan cara perhitungan rata-rata hitung dengan menggunakan data aktualnya. Pendekatan ini seharusnya hanya digunakan apabila tidak memungkinkan untuk menghitung nilai rata-rata hitung dari sumber data aslinya.

Rata-rata Gabungan atau rata-rata terboboti (Weighted Mean)
Rata-rata gabungan (disebut juga grand mean, pooled mean, atau rata-rata umum) adalah cara yang tepat untuk menggabungkan rata-rata hitung dari beberapa sampel.
\overline{x}=\dfrac{{\Sigma n}_ix_i}{\Sigma n_i}=\overline{x}=\dfrac{{\Sigma f}_ix_i}{\Sigma f_i}

Contoh 4:Tiga sub sampel masing-masing berukuran 10, 6, 8 dan rata-ratanya 145, 118, dan 162. Berapa rata-ratanya?

Jawab:\overline{x}=\dfrac{{\Sigma n}_ix_i}{\Sigma n_i}=\dfrac{\left({\rm 10}\right)\left({\rm 145}\right){\rm +}\left({\rm 6}\right)\left({\rm 118}\right){\rm +}\left({\rm 8}\right){\rm (162)}}{{\rm 10+6+8}}=143.9

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar